姚班的考试数学都是英文(但可以用中文作答)，物理都是中文。。请备考的学弟学妹们注意

这里凭借记忆写。。如果题面或我给的答案有错请告知。以及部分题目或其解答我不清楚。。如果会的请联系我。

数学(60 pts)

1.称函数$f$ faster than $g$，当且仅当$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$。

a)下列三个函数，哪个最快，哪个最慢?$\log(\sqrt{x}),\sqrt{\log(x)},\log(\log(x))$。(5 pts)

b)下列三个函数，哪个最快，哪个最慢?$n!,2^{n\log_2 n},10^{n^{0.5}}$。(5 pts)

c)比较$e^{\pi}$和$\pi^{e}$的大小。(5 pts)

2.有$n$个球和一架正常的天平，求一个至多使用$\lceil\frac{3n}{2}\rceil-2$次比较的方法同时求出这些球中最重的和最轻的。(10 pts)

3.有一个数列$a$，满足$a_1$是给定的，$a_i(i>1)$是$0\sim (i-1)$中唯一的数使得$a_1+a_2+\dots+a_i$是$i$的倍数。例如$a_1=9$时$a=\{9,1,2,0,3,3,3,\dots\}$。求证：不论$a_1$是多少，$a$到最后会变成一个常数列。(10 pts)

4.有$n$个开关和$n$个灯，第$i$个开关控制第$i$个灯。第一个开关可以随便开关，能够碰第$i$个开关的充要条件是前$i-1$个灯中只有第$i-1$个灯是亮的。现在所有灯是亮的，要求灭掉所有灯。

1)求一种最优方案(碰开关次数最少的方案)。(8 pts)

2)求最优方案中碰开关的次数。(5 pts)

5.两个学生和一个教授玩一个游戏。每个学生会得到一个正整数(只有他知道的)，教授会在黑板上写两个数，其中一个数是两个学生手中数的和。教授先问甲：“你知道对方手中的数是多少吗?”，甲：“不知道”；再问乙同样的问题，乙：“不知道”，再问甲，甲不知道，再问乙，乙不知道，...，这么轮回下去。

问：是否对于任何一种情况总有一个时候会有一个学生说“知道”?假设两个学生无比聪明且诚实。(12 pts)

(我对这题题面理解可能有误。。我考场上是当成另外一个题做的)

物理 (40 pts)

1.从水龙头中流下的水柱是上粗下细还是上细下粗?为什么?(5 pts)

2.忘了(4 pts)

3.忘了

4.一个入射角是布儒斯特角当且仅当反射光与折射光夹角为$\frac{\pi}{2}$。(我定义也许写错了，不过大概就是这意思)

如图，已知水面、玻璃的那啥系数(抱歉我忘了名词。。反正是sin 入射角/sin 折射角)分别是$k_1,k_2$，求$\theta$。(原题给出了$k_1,k_2$的说)

5.两个带正电小球相向而行是否一定会相互排斥?假设球的大小、电量等各种属性不一定相同。

6.卖米的时候，米从仓库里匀速流下。当秤上显示5kg之时，关上仓库。

卖家：“关上仓库之时，空中还有米，所以我给你的米多于5kg，我亏了”。

买家：“落下来的米对秤有冲击力，所以秤的读数偏大，我亏了”。

谁说的对?

答案(非常不完整及不靠谱。。我物理爆零了)

数学

1.a)$\log(\sqrt{x})$最大，$\log(\log(x))$最小。

b)$2^{n\log_2 n}$最大，$10^{n^{0.5}}$最小。

c)$e^{\pi}$更大来着。。我用的导数大法

2.分治。。也许我想的超复杂

• $n=2$：一次
• $n$是奇数：$n$减$1$然后化为偶数情况
• $n\equiv 0\pmod 4$：分成两半递归，比较两边最大最小值，$2(\frac{3n}{4}-2)+2=\frac{3n}{2}-2$；
• $n\equiv 2\pmod 4$：取出两个$x,y$，剩下的分成两半递归，$\max(x,y)$跟两边最大值比较，$\min(x,y)$跟两边最小值比较，($5$次额外比较)，$2(\frac{3(n-2)}{4}-2)+5=\frac{3n}{2}-2$。

3.令$S$为前缀和。。$S_i=i\lceil\frac{S_{i-1}}{i}\rceil$。若$S_i=ik$且$k\le i$，则$S_{i+1}=(i+1)\lceil k\frac{i}{i+1}\rceil=(i+1)k$。也就是只要能证明$\exists i,S_i=ik$且$k\le i$，就能证明这个问题。现在考虑$S_i\le a_1+\frac{i(i-1)}{2}$，总有一个地方$S_i$会赶不上$i^2$，就得证了。这题是我最后五分钟的绝杀，不然真的没分了

4.我觉得我的答案是错的。。我先放第二问的答案$\lfloor\frac{2^{n+1}-1}{3}\rfloor$(也许不完全是这个，我记不太清了)，各位神犇对一对。。错了就告诉我。。

5.都说了考场上看错题了

物理

1.(lljz给的答案，我感觉很有道理)上粗下细。因为流速在加快，所以一样的高度的水柱，底下的水柱量少。

2.

3.

4.这是个几何题。。当然我还是不保证答案正确性

布儒斯特角有一点吼，就是其$\tan$值就是那啥系数。辣么$r_1,r_2$求出来，$\theta+r_2+r_1=\frac{\pi}{2}$，就好了。

5.(也是lljz给的)这个答案仅供娱乐。。两个带正电黑洞互相吸引

6.不会

吐槽

据个人臆测，姚班这次面试的顺序是按照成绩倒序来的!因为我是rank4