矩阵上的费马小定理?

我们知道如果$P$是质数，$0<i<P$，那么$i^{P-1}\equiv 1 \pmod P$。

那么在模质数$P$意义下，对于哪些矩阵$M$有$M^{P-1}=I$呢?($I$是单位矩阵)

这里给出一个充分条件

如果存在矩阵$A,B$，有$M=A^{-1}BA$，且$B$是对角矩阵，那么$M$满足条件。

其实挺显然的。。因为$B$满足条件。$M^k=A^{-1}B^kA$也就满足条件。

这样NOI2013那个题费马小定理的正确性可以看着矩阵得出(我没有仔细算啊)(ps.好像是错的)。