设$E$为$F$的扩域，$K,L$为中间域，$K/F$为代数扩域，

$$S=\{\sum_{i=1}^na_ib_i:n<\infty,a_i\in K,b_i\in L\}$$

求证：$S$是$E$的子域。

故事背景是这样的。。r_64在进入五道口抖m体校之后，成了脑浆炸裂男孩，发现什么题都做不出了，急需一发数学题来补补脑。。

然后听说symmetric Pascal matrix的行列式都是1。。觉得这个东西的证明好像是个水题。。然后就开始刚

没错这是个水题。。结果脑浆炸裂男孩硬是花了将近一周才证出来。。

鸣谢茶园的ztz，akf，wwx和工业工程系的cm

upd 9.26：更了第3题第1,2问(我tm居然会填坑)，但是总感觉不太对

有$n$个物品，两两不相同。它们被分成两堆，左边那堆$x$个，右边那堆$n-x$个。从左边那堆拿出$p$个物品，从右边拿出$q$个物品，要求$p>q$。

求证：方案数为$\sum_{i=0}^{x-1}\binom{n}{i}$。

rt