军训时在干什么
鸣谢茶园的ztz，akf，wwx和工业工程系的cm
upd 9.26：更了第3题第1,2问(我tm居然会填坑)，但是总感觉不太对
是这样的。。我们几个在队列中站一起→_→然后就开始每天思考一些题目来防止脑袋荒废
一般是先出题，再想做法。。其实出了一些日经题。。还有一些题并没有做出来
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1.爬山问题 出题人ztz
一个山峰，可以看出一个满足一定条件的函数(函数值表示高度)。两个人分别在山两头，可以走路，唯一的要求是两个人高度必须总是相同。求证两个人一定可以在某个时候相遇。
函数$f$的条件嘛。。我们当时也说的很含糊。。后来我总结出这些条件。。
- 在闭区间$[s,t]$内处处连续、可导，且只有有限个单调区间。山两头指的就是$s,t$。
- $f(s)=f(t)$，$f'(s)f'(t)<0$。
证明：首先可以离散化这个函数，就是把它变成处处斜率都是$1$或$-1$，拐点只有网格整点的那种函数。然后称一个状态是两个人分别在哪，两个人是不同的。状态中两个人的位置只能是整点。这样只有有限个状态。
然后，一个状态能一步到达另一个状态，就连边，显然边是无向的。然后，全图中只有两个点的度数为$1$，其他点度数都是偶数，这两个点是“甲在$s$，乙在$t$”与“甲在$t$，乙在$s$”。这两个点一定在同一个连通块(只有它们度数是奇数啊)，故它们一定连通。
换句话说，通过某种方法走路，甲可以和乙交换位置。在这个过程中甲乙一定会相遇一次。
2.集合论傻逼题 出题人rhl
$\mathbb{I}$为无理数集，求$\mathbb{I}$到$\mathbb{R}$的双射$f$。
这题其实超级水。。然而我还是查了quora才看到的答案。
令$S$为$\mathbb{I}$的一个子集，且大小为可数无穷；$\mathbb{Q}$为有理数集。那么$f$把$S$和$S\cup \mathbb{Q}$一一映射，$\mathbb{I}$中剩下的部分映射到自己就好。
举个例子，(就是quora那个答案)令$S=\{x\pi:x\in\mathbb{Z},x\ne 0\}$。这样，$x\pi(x<0)$可以映射到$\mathbb{Q}$(用$\mathbb{Z}_{-}$到$\mathbb{Q}$的一一映射)；$x\pi(x>0)$就可以映射到$S$(用$\mathbb{Z}_{+}$到$\mathbb{Z}$的一一映射)。
3.还没来得及思考的集合论题 出题人ztz
$X\to Y$的函数个数是什么级别的?$\aleph_0$，$\aleph_1$，$\aleph_2$，或者更多?对四种情况求答案：
1)$X=\mathbb{Z},Y=\mathbb{Z}$见第2问。。显然不会超过$\aleph_1$，听说就是$\aleph_1$。
2)$X=\mathbb{Z},Y=\mathbb{R}$就是问可数无限长可数无限宽的$01$表格的个数，很容易把这种表格压成一个$01$串，那么个数就是$\aleph_1$了。
3)$X=\mathbb{R},Y=\mathbb{Z}$
4)$X=\mathbb{R},Y=\mathbb{R}$
4.还不会做的几何日经题 出题人cm
$\triangle ABC$，$C_1,A_1,B_1$分别在边$AB,BC,CA$上，$AC_1=BA_1=CB_1$，$\triangle A_1B_1C_1$是等边三角形，求证$\triangle ABC$也是等边三角形
5.疑似在m67博客里出现的数论题 搬题人rhl,ztz
求$2^x+1=3^y$的所有正整数解
膜8之后得到$y$一定是偶数，令$y=2k$就有$2^x=(3^k-1)(3^k+1)$，$2^x$居然是两个相差为$2$的数相乘是不是很奥妙重重呢，那么$x$就是$3$辣，$y$也就只能等于$2$了。
话说还漏了个$x=y=1$。。因为 $y$ 是偶数是在$x>2$的情况下得到的
6.上面那个题改改就不会做了 改题人rhl,ztz
求$x^3+1=y^2$的所有正整数解
猜想只有$x=2,y=3$。。没证完军训就结束了，我们去享受生活了
upd.这题欧拉做过。。确实只有$x=2,y=3$，见https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E8%98%AD%E7%8C%9C%E6%83%B3
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