抽代试卷上的一个题

设$E$为$F$的扩域，$K,L$为中间域，$K/F$为代数扩域，

$$S=\{\sum_{i=1}^na_ib_i:n<\infty,a_i\in K,b_i\in L\}$$

求证：$S$是$E$的子域。

证明：显然只需证$\forall \alpha=\sum_{i=1}^na_ib_i\in S$，$\alpha^{-1}\in S$。我们注意到$K/F$为代数扩域，则$a_1\dots a_n$为$L$上代数元。那么$L(a_1\dots a_n)\cong L[a_1\dots a_n]$(注：前者表示$L$中添加了$a_1\dots a_n$形成的扩域，后者表示一切$\{\sum_{i=1}^la_{p_i}^{e_i}q_i:1\le p_i\le n,e_i\in\mathbb{N},q_i\in L\}$组成的环，可以类似于域上多项式环$F[x]$来理解)。

这样的话，因为$L[a_1\dots a_n]$是域，而$\alpha\in L[a_1\dots a_n]$，所以$\alpha^{-1}\in L[a_1\dots a_n]$。又很显然能看出$L[a_1\dots a_n]\subseteq S$。所以$\alpha^{-1}\in S$。由$\alpha$的任意性得$S$是$E$的子域。

这是抽代试卷上的压轴题。我猜应该没什么人做出来。。0-2个?老师说这题的想法来自单扩张定理(的一部分)：$x$是$F$上的代数元，那么$F(x)\cong F[x]$。

抽代考试以一种我没有想过的惨淡方式结束了。。感觉老师不按套路出试卷，再加上自己平时不太搞基础的东西，以及自己计算能力严重下滑，就狗带了。在这里发一篇博客只是觉得这张卷子里这个题非常精彩(虽然抽代里不缺精彩的题目)，怕以后忘掉。