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2017
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抽代试卷上的一个题

设$E$为$F$的扩域,$K,L$为中间域,$K/F$为代数扩域,

$$S=\{\sum_{i=1}^na_ib_i:n<\infty,a_i\in K,b_i\in L\}$$

求证:$S$是$E$的子域。

证明:显然只需证$\forall \alpha=\sum_{i=1}^na_ib_i\in S$,$\alpha^{-1}\in S$。我们注意到$K/F$为代数扩域,则$a_1\dots a_n$为$L$上代数元。那么$L(a_1\dots a_n)\cong L[a_1\dots a_n]$(注:前者表示$L$中添加了$a_1\dots a_n$形成的扩域,后者表示一切$\{\sum_{i=1}^la_{p_i}^{e_i}q_i:1\le p_i\le n,e_i\in\mathbb{N},q_i\in L\}$组成的,可以类似于域上多项式环$F[x]$来理解)。

这样的话,因为$L[a_1\dots a_n]$是域,而$\alpha\in L[a_1\dots a_n]$,所以$\alpha^{-1}\in L[a_1\dots a_n]$。又很显然能看出$L[a_1\dots a_n]\subseteq S$。所以$\alpha^{-1}\in S$。由$\alpha$的任意性得$S$是$E$的子域。


这是抽代试卷上的压轴题。我猜应该没什么人做出来。。0-2个?老师说这题的想法来自单扩张定理(的一部分):$x$是$F$上的代数元,那么$F(x)\cong F[x]$。

抽代考试以一种我没有想过的惨淡方式结束了。。感觉老师不按套路出试卷,再加上自己平时不太搞基础的东西,以及自己计算能力严重下滑,就狗带了。在这里发一篇博客只是觉得这张卷子里这个题非常精彩(虽然抽代里不缺精彩的题目),怕以后忘掉。

Category: 未分类 | Tags: 数学 | Read Count: 486

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