uyhip2016 October

题目

今天早上起来看了答案。。就更一发了。。我非常喜欢的一个题。。可惜自己最终没有征服它，想都没有想到点子上

这种题用某位大佬的话说就是靠缘分。。

是否存在一个凸多边形$C$和它的一个划分$P$，使得$P$的每个部分都是凹四边形，且$P$只有有限个部分?

由于我是搬运工我直接搬答案了：不存在。

考虑$P$中有$n$个凹四边形，对一个凹四边形我们称它的凹点(瞎起的名字)为$>180^{\circ}$的那个内角的顶点。显然$P$中不会有两个凹四边形共顶点(upd.这里应该是“共凹点”)，因为平面中一个点周围只能划分出$360^{\circ}$。记$A$为$P$中所有凹四边形的凹点构成的集合，则$A$与$P$中的凹四边形存在一一对应关系。

然后，$A$中所有点严格地处在$C$的内部，道理很简单，因为$C$是凸的。

考虑$P$中所有凹四边形的内角和。显然是$360^{\circ}\times n$。但是，由于$C$边界上至少有$180^{\circ}$的内角和，$C$内部还至少有$360^{\circ}\times n$(每个$A$中的点贡献$360^{\circ}$，还可能有不在$A$中的点有贡献)，所以这个内角和至少是$360^{\circ}\times n+180^{\circ}$。

矛盾。。那就可以Q.E.D了