uyhip2016 October

r_64 posted @ 2016年11月01日 08:48 in 未分类 with tags uyhip , 557 阅读

题目

今天早上起来看了答案。。就更一发了。。我非常喜欢的一个题。。可惜自己最终没有征服它,想都没有想到点子上

这种题用某位大佬的话说就是靠缘分。。

是否存在一个凸多边形$C$和它的一个划分$P$,使得$P$的每个部分都是凹四边形,且$P$只有有限个部分?

由于我是搬运工我直接搬答案了:不存在。

考虑$P$中有$n$个凹四边形,对一个凹四边形我们称它的凹点(瞎起的名字)为$>180^{\circ}$的那个内角的顶点。显然$P$中不会有两个凹四边形共顶点(upd.这里应该是“共凹点”),因为平面中一个点周围只能划分出$360^{\circ}$。记$A$为$P$中所有凹四边形的凹点构成的集合,则$A$与$P$中的凹四边形存在一一对应关系。

然后,$A$中所有点严格地处在$C$的内部,道理很简单,因为$C$是凸的。

考虑$P$中所有凹四边形的内角和。显然是$360^{\circ}\times n$。但是,由于$C$边界上至少有$180^{\circ}$的内角和,$C$内部还至少有$360^{\circ}\times n$(每个$A$中的点贡献$360^{\circ}$,还可能有不在$A$中的点有贡献),所以这个内角和至少是$360^{\circ}\times n+180^{\circ}$。

矛盾。。那就可以Q.E.D了


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