Uyhip2017 May

好久好久没更uyhip辣。这次题目不算难就更一下吧。

题面：对哪些$n$，存在大小为$n$的Abel群$(G,+)$与三个$G\to G$的双射$A,B,C$，使得$\forall x\in G$，$A(x)+B(x)=C(x)$？如果不要求$G$是Abel群，只要求$G$是群呢?

题解在此。

照着题解写一遍blog也没意思，所以我打算讲一点心路历程(雾)。

首先是我看到这题是某题的变种，那题要求$G$是循环群，然后稍微想一下就会发现很简单。$n$是奇数的情况$A,B$取成单位映射，$C:x\mapsto 2x$是双射；$n$是偶数的情况用一个算两次的思路就可以证明无解，具体地说把$n$个式子“$A(x)+B(x)=C(x)$”的左右加起来，会发现$n$整除$\frac{n(n-1)}{2}$，而$n$是偶数时这一点是做不到的。

那么根据uyhip的尿性，这题的答案当然也是$n$是奇数有解，偶数无解啦。我们用跟前面相同的方法证明$n$是偶数时无解，然后发现需要证明所有阶为$2$的元素的和不等于$0$。$n\equiv 2\pmod 4$是奇数的时候，阶为$2$的元素是唯一的，这个证明就很容易推过去；然而$n\equiv 0\pmod 4$时就遇到麻烦了。

然后我就开始手算$n=4$的例子(不能算循环群，显然要算${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$)，没想到$n=4$居然有解(见题解)。然后我注意到这玩意是积性的($a$有解，$b$有解，那么$a\times b$有解)，奇数有解$4$有解，那么所有$2^st$($s$是偶数)有解。我想如果$8$有解的话，有解的数的集合就是$s\ne 1$了，会显得更优美。于是我xjb玩了一下群${\mathbb{Z}}_2\times{\mathbb{Z}}_2\times{\mathbb{Z}}_2$，发现居然真的有解(见题解)。这样我们就确定了第一问的答案：无解当且仅当$n\equiv 2\pmod 4$。

第二问我想了好几个小时。因为群运算不交换了，上面的论述都狗带了。至于想的什么呢，都是往各种方面xjb想。。。这个确实也靠灵感。。最终还是抓住了$n\equiv 2\pmod 4$的一个性质(存在大小为$n/2$的子群$H\le G$)然后想了出来。我发现阶为$2$的元素$u$是唯一的，而且一个元素乘以$u$会改变它是否在$H$中这个属性。于是就可以把元素的这个属性$\chi(a)=[a\not\in H]$定义出来，然后发现$\chi(xy)\equiv \chi(x)+\chi(y)\pmod 2$，剩下的事情就是一个简单的算两次，最终能推出$\frac{n}{2}=\sum_{a\in G}\chi(a)=$一个偶数，导致矛盾。

关于为什么$H$是存在的，可以见我写的题解或者uyhip官方题解或者官方题解中给出的mathematics.stackexchange的链接。

其实我挺喜欢这个题的。。(可能解题者都喜欢自己想了很久最终征服了的题吧，虽然这里题目也水解题者也菜)

这题只需要很基础的群论，但是解题过程也不是那么好想。